![\begin{displaymath}\begin{array}[t]{lll}
\frac{d\Omega}{d\alpha} dt = d\lamb...
...t =-d\beta, &\frac{d\Omega}{d\nu} dt =-d\gamma,
\end{array}\end{displaymath}](citation/img2.png)
Il y a eu récemment plusieurs avancées mathématiques significatives en mécanique céleste, sur des problèmes difficiles : toujours plus d'indices numériques de l'instabilité du système solaire, classification plus complète des configurations d'équilibre relatif, découverte de nouvelles solutions périodiques ou quasipériodiques avec de nouveaux types de symétries, nouveaux résultats de non-intégrabilité, résultats plus fins de moyennisation et en théorie KAM.
À l'approche du 200e anniversaire de deux Mémoires remarquables de Poisson et de Lagrange sur les aspects hamiltoniens de la méthode de la variation des constantes (cf. ci-dessous), un atelier sur les aspects mathématiques de la mécanique céleste se tiendra à Paris en décembre 2007. Il sera centré sur la moyennisation ainsi que sur les théories KAM et KAM faible, en vue de leurs implications dans le problème des n corps.
En décembre 2007, nous commémorerons l'approche du 200e anniversaire de deux Mémoires remarquables de Poisson et de Lagrange sur les aspects hamiltoniens de la méthode de la variation des constantes.
« [...] Poisson avait vingt-sept ans lorsqu'il présenta ce magnifique travail à l'Académie. Vers la fin de 1808, un événement complètement inattendu jeta le monde scientifique dans une surprise enthousiaste. Lagrange se reposait depuis longtemps dans sa gloire. Il assistait assidûment à nos séances, mais sans y proférer un seul mot [...]. Tout à coup, Lagrange sort de sa léthargie, et son réveil est celui du lion. Le 17 août 1808, il lit au Bureau des longitudes, et le lundi suivant 22, à l'Académie des sciences, un des plus admirables Mémoires qu'ait jamais tracés la plume d'un mathématicien. Ce travail était intitulé : Mémoire sur la théorie des variations des éléments des planètes, et en particulier des variations des grands axes de leurs orbites. » (F. Arago, Œuvres complètes, 1854, p. 654)
« On entend, en Astronomie, par éléments d'une planète les quantités qui déterminent son orbite autour du Soleil, supposée elliptique, ainsi que le lieu de la planète dans un instant marqué, qu'on appelle l'époque. Ces quantités sont au nombre de cinq, dont deux, le grand axe ou la distance moyenne qui en est la moitié, et l'excentricité, déterminent la grandeur de l'ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers ; les trois autres, la longitude de l'aphélie, celle des noeuds, et l'inclinaison, déterminent la position du grand axe sur le plan de l'ellipse et la position de ce plan sur un plan qu'on regarde comme fixe par rapport aux étoiles. Ces cinq quantités, jointes à l'époque, étant connues pour une planète, on peut trouver en tout temps son lieu dans le ciel par le moyen de ces deux lois, découvertes par Kepler, que les aires décrites dans l'ellipse par le rayon vecteur croissent proportionnellement au temps, et que la durée de la révolution est proportionnelle à la racine carrée du cube du grand axe. [...]
Dans le siècle dernier [...], on reconnut que le mouvement d'une planète attirée par le Soleil en raison inverse du carré de la distance dépend de trois équations différentielles du second ordre, qui demandent par conséquent six intégrations ; ces intégrations introduisent chacune dans le calcul une constante arbitraire ; de sorte que la solution du Problème renferme en dernière analyse six constantes arbitraires : ce sont les éléments mêmes de la planète, ou des fonctions de ces éléments.
Mais les planètes ne sont pas seulement attirées par le Soleil, elles s'attirent encore mutuellement, et l'effet de cette action mutuelle est de déranger leur mouvement elliptique et d'y produire des inégalités qu'on nomme perturbations, dont le calcul est long et délicat, et fait depuis Newton l'objet de travaux des Géomètres qui s'occupent de la Théorie du Système du monde. » ([L1] p. 713)
Voir aussi le cours de P. Bernard cet automne sur la théorie KAM faible.
albouy at
imcce.frpbernard at ceremade.dauphine.frfejoz at math.jussieu.frmarco
at math.jussieu.frlaurent at imcce.frsauzin at
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