Publications

Cet article revient sur la composition des paragraphes avec LuaTeX, et sur l'utilisation des callbacks avec LuaLaTeX.

Cet article est une introduction à l’utilisation de la bibliothèque mplib de LuaTeX qui contient le programme MetaPost. Cette utilisation est rendue possible avec le format LaTeX grâce à l’extension luamplib dont les principales fonctionnalités sont présentées. Cette extension devient mature pour une utilisation intensive, et c’est ce que nous montrons au travers d’un certain nombre d’exemples.

This paper deals with a general class of algorithms for the solution of fixed-point problems that we refer to as \emph{Anderson--Pulay acceleration}. This family includes the DIIS technique and its variant sometimes called commutator-DIIS, both introduced by Pulay in the 1980s to accelerate the convergence of self-consistent field procedures in quantum chemistry, as well as the related Anderson acceleration which dates back to the 1960s, and the wealth of techniques they have inspired. Such methods aim at accelerating the convergence of any fixed-point iteration method by combining several iterates in order to generate the next one at each step. This extrapolation process is characterised by its \emph{depth}, \textit{i.e.} the number of previous iterates stored, which is a crucial parameter for the efficiency of the method. It is generally fixed to an empirical value. In the present work, we consider two parameter-driven mechanisms to let the depth vary along the iterations. In the first one, the depth grows until a certain nondegeneracy condition is no longer satisfied; then the stored iterates (save for the last one) are discarded and the method ``restarts''. In the second one, we adapt the depth continuously by eliminating at each step some of the oldest, less relevant, iterates. In an abstract and general setting, we prove under natural assumptions the local convergence and acceleration of these two adaptive Anderson--Pulay methods, and we show that one can theoretically achieve a superlinear convergence rate with each of them. We then investigate their behaviour in quantum chemistry calculations. These numerical experiments show that both adaptive variants exhibit a faster convergence than a standard fixed-depth scheme, and require on average less computational effort per iteration. This study is complemented by a review of known facts on the DIIS, in particular its link with the Anderson acceleration and some multisecant-type quasi-Newton methods.

In this article, we will see how, thanks to METAPOST and MPLIB and LuaTeX, we can build an animation illustrating in a mechanical way the Fourier decomposition of a closed contour. This is a translation by the author of the original article in French, published in La Lettre GUTenberg number 41 of the French TeX user group.

Cette étude tente de dresser une cartographie thématique des mathématiques universitaires en France, définies ici comme l'ensemble des électeurs des deux sections CNU 25 et 26. Basée sur les publications référencées dans MathSciNet et la classification MSC, elle met en évidence la répartition des forces entre les différents domaines de recherche, et compare ces résultats avec le découpage en deux sections CNU. L'approche retenue permet aussi de déterminer la part des chercheurs et enseignants-chercheurs travaillant sur les "applications des mathématiques" et de réaliser une cartographie similaire pour les recrutements des CR au CNRS pendant la période 2005-2016.

In this work, a new robust and fast method is developed to perform transfers that minimize fuel consumption between two invariant manifolds of periodic orbits in the circular restricted three-body problem. The method starts with an impulse transfer between two invariant manifolds to build an optimal control problem. This allows to choose an adequate fixed transfer time. Using the Pontryagin maximum principle, the resolution of the problem is formulated as that of finding the zero of a shooting function (indirect method). The algorithm couples different kinds of continuations (on cost, final state, and thrust) to improve robustness and to initialize the solver. The efficiency of the method is illustrated with numerical examples. Finally, the influence of the transfer time is studied numerically thanks to a continuation on this parameter, and it checks that, when transfer duration goes to zero, the control converges to the impulse transfer that it started with. It shows the robustness of the method and establishes a mathematical link between the two problems.

Dans ce travail, on développe une nouvelle méthode pour construire des missions à faible poussée avec minimisation de la norme L 2 du contrôle. Dans le problème circulaire restreint des trois corps, la connaissance des variétés invariantes nous permet d’initialiser une méthode indirecte utilisée pour calculer un transfert entre orbites périodiques de Lyapunov. En effet, par l’application du Principe du Maximum de Pontryagin, on obtient la commande optimale par le calcul du zéro d’une fonction de tir, trouvé par un algorithme de Newton. Pour construire la mission Lyapunov vers Lyapunov, dans un premier temps, on calcule une trajectoire admissible en passant par une trajectoire hétérocline reliant les deux orbites périodiques. Celle-ci est alors utilisée pour initialiser un tir multiple nous permettant de relacher la contrainte de rejoindre la trajectoire hétérocline. Enfin, on optimise la position des points de départ et d’arrivée sur les orbites périodiques. De plus, pour rendre nos méthodes plus robustes, on utilise des méthodes de continuation sur la position et sur la poussée. Dans la dernière section, on contruit une mission plus générale Halo vers Halo avec des énergies différentes. Cette fois, nous ne pouvons plus utiliser d’orbites hétéroclines, mais on initialise la méthode de tir avec des trajectoires des variétés invariantes de la même façon qu’avec l’orbite hétérocline pour la mission Lyapunov vers Lyapunov.

In this work, we develop a new method to design energy minimum low-thrust missions (L2-minimization). In the Circular Restricted Three Body Problem, the knowledge of invariant manifolds helps us initialize an indirect method solving a transfer mission between periodic Lyapunov orbits. Indeed, using the PMP, the optimal control problem is solved using Newton-like algorithms finding the zero of a shooting function. To compute a Lyapunov to Lyapunov mission, we first compute an admissible trajectory using a heteroclinic orbit between the two periodic orbits. It is then used to initialize a multiple shooting method in order to release the constraint. We finally optimize the terminal points on the periodic orbits. Moreover, we use continuation methods on position and on thrust, in order to gain robustness. A more general Halo to Halo mission, with different energies, is computed in the last section without heteroclinic orbits but using invariant manifolds to initialize shooting methods with a similar approach.

Le premier objectif de cette thèse est de bien comprendre les propriétés de la dynamique du problème circulaire restreint des trois corps et de les utiliser pour calculer des missions pour satellites pourvus de moteurs à faible poussée. Une propriété fondamentale est l'existence de variétés invariantes associées à des orbites périodiques autour des points de Lagrange. En suivant l'idée de l'Interplanetary Transport Network, la connaissance et le calcul des variétés invariantes, comme courants gravitationnels, sont cruciaux pour le design de missions spatiales. Une grande partie de ce travail de thèse est consacrée au développement de méthodes numériques pour calculer le transfert entre variétés invariantes de façon optimale. Le coût que l'on cherche alors à minimiser est la norme L1 du contrôle car elle est équivalente à minimiser la consommation des moteurs. On considère aussi la norme L2 du contrôle car elle est, numériquement, plus facile à minimiser. Les méthodes numériques que nous utilisons sont des méthodes indirectes rendues plus robustes par des méthodes de continuation sur le coût, sur la poussée, et sur l'état final. La mise en œuvre de ces méthodes repose sur l'application du Principe du Maximum de Pontryagin. Les algorithmes développés dans ce travail permettent de calculer des missions réelles telles que des missions entre des voisinages des points de Lagrange. L'idée principale est d'initialiser un tir multiple avec une trajectoire admissible composée de parties contrôlées (des transferts locaux) et de parties non-contrôlées suivant la dynamique libre (les variétés invariantes). Les méthodes mises au point ici, sont efficaces et rapides puisqu'il suffit de quelques minutes pour obtenir la trajectoire optimale complète. Enfin, on développe une méthode hybride, avec à la fois des méthodes directes et indirectes, qui permettent d'ajuster la positions des points de raccord sur les variétés invariantes pour les missions à grandes variations d'énergie. Le gradient de la fonction valeur est donné par les valeurs des états adjoints aux points de raccord et donc ne nécessite pas de calculs supplémentaire. Ainsi, l'implémentation de algorithme du gradient est aisée.