Année 2001
 
 
 

Projet 2 : L'algorithme de Hastings-Metropolis

On considère une loi de Poisson P(3) tronquée à l'ensemble {0,1,¼,10}, de densité p(k) µ 3^k/k!.

1. Rappeler que l'algorithme de Hastings-Metropolis à marche aléatoire associée à cette loi est donné par la transition

xt+1 =  ì ï ï ï í ï ï î xt+et avec probabilité  p(xt+et) p(xt) q(xt+et,xt) q(xt,xt+et) xt sinon,

(1)

où e_t Î {-1,1} et e="symbol">Î {-1,1} et q(i,i+1) = q(i,i-1) = 1/2 pour i ¹ 0,10, q(0,1) = q(10,9) = 1.
2. Ecrire la matrice de transition de Markov I P associée.
3. Vérifier
(i) directement;
(ii) par le calcul de I Pⁿ (avec n grand)
que p(k) µ 3^k/k! est bien loi stationnaire pour cette matrice.
 
4. Par une expérience de Monte Carlo, évaluer l'effet de la valeur initiale x₀ sur la convergence de la chaîne vers la loi stationnaire au moyen de
1. la distance en variation totale

sup k ê ê ^ p t x0 (k) - p(k)  ê ê ê  ,

où p_x0^t(k) = P(X_t = k|X₀ = x₀) et [^(p)]_x0^t(k) est l'estimation par Monte Carlo de cette quantité;
2. la convergence des moments

sup 1 £ r £ 5 ê ê ^ m t r (x0) - mr ê ê  ,

où m_r = I E[X^r] et [^(m)]^t>r] et [^(m)]^t_r(x₀) = (x₀^r+¼+x_t^r)/(t+1);
3. le temps de couplage P(X_t(x₀) ¹ X_t^*), où X_t(x₀) est la chaîne de Markov de valeur initiale x₀ et X_t^* est une chaîne stationnaire, c'est à dire démarrée selon la loi p qui est couplée avec X_t(x₀) : à chaque instant t, on utilise pour les deux chaînes le même couple de variables uniformes (u_1t,u_2t) pour décider de la valeur de e_t et du passage de x_t à x_t+e_t
(On considèrera toutes les valeurs initiales x₀ = 0,1,¼,10.)
5. Dans le cadre du couplage *, examiner via une expérience de Monte Carlo les états de la chaîne où se produit un couplage pour détecter des éventuelles monotonicités.
6. Déterminer la distribution du temps d'oubli de la condition initiale T par l'expérience de Monte Carlo suivante :
Carlo suivante :
 
 0   Partir des 11 valeurs initiales k = 0,¼,10
 1   Créer 11 chaînes (Xt(k))t k = 0,¼,10 par la transition (1) couplées en utilisant les mêmes variables uniformes (u1t,u2t) pour tout k
 2   Observer T instant où toutes les chaînes sont identiques pour la première fois
7. Reprendre les questions * et * pour un autre choix de q(i,j) (comme, par exemple, q(i,j) µ|i-j| ou q(i,j) µ exp(-|i-j|/{|i-3|+1}) ou encore q(i,j) = 1/11)
8. Comparer la variance des estimateurs des moments de * avec celle des estimateurs des moments fondés sur une simulation iid de la loi de Poisson tronquée.

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