A review of functional analysis tools for PDEs - 15h September 2020 - UPD
David Gontier (CEREMADE)
- Lp spaces, Sobolev spaces;
- Distributions, Fourier transform, Laplace, heat and Schrödinger equations in the whole space;
- Self-adjoint compact operators;
- Laplace and Poisson equations in a domain.
A review of numerical methods for PDEs - 15h September 2020 - UPD
Guillaume Legendre (CEREMADE)
Review of classical numerical methods for PDEs
Tests and Applications with Matlab
*** cours fondamentaux ***
Introduction to stochastic calculus - 36h of lectures & 15h of tutorial from September to December 2020 - UPD
Djalil Chafai (CEREMADE) & tutorial by Zhenjie Ren (CEREMADE)
The first part of the course presents stochastic calculus for continuous semi-martingales. The second part of the course is devoted to Brownian stochastic differential equations and their links with partial differential equations. This course is naturally followed by by the course "Jump processes". Lecture notes will be hopefully available. Contents:
- Probability basics
- Stochastic processes, Brownian motion, continuous semi-martingales
- Stochastic integral, Itô formula for semi-martingales and Girsanov theorem
- Stochastic differential equations, diffusion processes
- Feynman-Kac formula and link with heat equation
- Probabilistic representation of the Dirichlet problem.
Introduction to non-linear PDEs - 30h & 7,5h of tutorial from September to December 2020 - UPD
Éric Séré (CEREMADE)
Sobolev and Hölder spaces
Existence of weak solutions by variational methods
Regularity of weak solutions
Fixed point theorems
Maximum principles and applications
Introduction to evolution PDEs - 30h & 7,5h of tutorial from September to December 2020 - UPD
Stéphane Mischler (CEREMADE)
In a first part, we will present several results about the well-posedness issue for evolution PDE.
- Parabolic equation. Existence of solutions for parabolic equations by the mean of the variational approach and the existence theorem of J.-L. Lions.
- Transport equation. Existence of solutions by the mean of the characterics method and renormalization theory of DiPerna-Lions. Uniqueness of solutions thanks to Gronwall argument and duality argument.
- Evolution equation and semigroup. Linear evolution equation, semigroup and generator. Duhamel formula and mild solution. Duality argument and the well-posedness issue. Semigroup Hille-Yosida-Lumer-Phillips' existence theory.
In a second part, we will mainly consider the long term asymptotic issue.
- More about the heat equation. Smoothing effect thanks to Nash argument. Rescaled (self-similar) variables and Fokker-Planck equation. Poincaré inequality and long time asymptotic (with rate) in L2 Fisher information, log Sobolev inequality and long time convergence to the equilibrium (with rate) in L1.
- Entropy and applications. Dynamical system, equilibrium and entropy methods. Self-adjoint operator with compact resolvent. A Krein-Rutman theorem for conservative operator. Relative entropy for linear and positive PDE. Application to a general Fokker-Planck equation. Weighted L2 inequality for the scattering equation.
- Markov semigroups and the Harris-Meyn-Tweedie theory.
In a last part, we will investigate how the different tools we have introduced before can be useful when considering a nonlinear evolution problem.
- The parabolic-elliptic Keller-Segel equation. Existence, mass conservation and blow up. Uniqueness. Self-similarity and long time behavior.
Numerical methods for partial differential equations and control - 30h from September to December 2020 - UPD
Julien Salomon (INRIA)
This course is composed of 5 chapters :
Numerical optimization and partial differential equations
Numerical methods for optimal control
Numerical treatment of variational inequalities
Introduction to the finite element method
Introduction to reduction methods
Each chapter is associated with a working session on the machine (TP, in Matlab/GNU Octave and Free Fem).
Hamiltonian Dynamical Systems 
- 30h from September to December 2020 - Observatoire de Paris
Jacques Féjoz (CEREMADE) & Laurent Niederman (U. Paris-Sud)
Tentative plan (subject to changes, depending on the audience):
-
Reminder on differential equations
-
Hamiltonian systems on R2n
-
Smooth manifolds, tangent and cotangent bundles
-
Differential forms
-
Symplectic manifolds
-
Hamiltonian systems on symplectic manifolds
-
Integrability of Hamiltonian systems
-
Hamiltonian perturbation theory
-
The KAM theorem
-
The Nekhoroshev theorem
References:
-
V.I. Arnold, Geometric methods in the theory or ordinary differential equations
-
V.I. Arnold, Mathematical methods in classical mechanics
-
J.M. Lee, Introduction to smooth manifolds
-
D. McDuff and D. Salamon, Introduction to symplectic topology
-
A. Cannas da Silva, Lectures on symplectic geometry
-
G. Benettin, The elements of Hamiltonian perturbation theory
The course will be taught in English (or in French, if everyone speaks French).
Ce cours est commun avec le M2 de Dynamique des systèmes gravitationnels de l'Observatoire de Paris.
Introduction to statistical mechanics, UPD (B. De Tilière & C. Toninelli)
La mécanique statistique a pour but de comprendre le comportement macroscopique d'un système physique décrit par un modèle probabiliste donnant les interactions microscopiques entre les composants du système. De nombreux modèles entrent dans ce cadre, tels le modèle d’Ising (phénomène de magnétisation), la percolation (écoulement d’un liquide dans un solide poreux), le modèle de dimères (répartition de molécules diatomiques à la surface d’un cristal), les modèles de particules avec contraintes cinétiques (verres, matériaux granulaires). Ce sujet touche à de nombreux domaines des mathématiques : les probabilités de par la nature même des modèles, la théorie des graphes car les modèles sont souvent définis sur des réseaux, la combinatoire, et parfois même à la géométrie algébrique.
L’objectif de ce cours est de donner une introduction à ce vaste sujet. En particulier, nous montrerons l’existence d’une transition de phase pour la percolation, puis nous étudierons de manière détaillée le modèle de dimères avec comme objectif d’établir le diagramme de phases. Dans une deuxième partie, nous introduirons le modèle d'Ising et sa version stochastique. Ca sera l'occasion pour introduire les systèmes de particules en interaction, une vaste classe de modèles largement utilisés pour modéliser aussi bien des phénomènes issus de la physique que d'autres disciplines telles que la biologie (diffusion d'infections) et les science sociales (dynamique d'opinions).
*** cours spécialisés ***
Théorie des jeux à champs moyens - 18h au 2nd semestre - UPD
Pierre Cardaliaguet (CEREMADE)
Voir la page web du M2 MASEF.
Équations de réaction-diffusion et dynamiques des populations biologiques - 26h au 2nd semestre - Sorbonne U.
Henri Berestycki (EHESS) & Gregoire Nadin (Sorbonne Université)
Des phénomènes observés dans des contextes très variés sont représentés par des équations de type réaction-diffusion : dynamique des populations, écologie, épidémiologie, invasions biologiques, comportements collectifs, diffusion d'opinions ou de normes sociales. Ce cours développera des méthodes mathématiques pour analyser ce type d'équations. Elles seront ensuite mises en œuvre pour établir les principales propriétés de ces équations.
Une première partie sera consacrée aux propriétés fondamentales des équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques linéaires et non linéaires. On étudiera ensuite les états stationnaires de ces équations, les propriétés dynamiques et l'existence de solutions de type ondes progressives. On s'attachera en particulier à en déterminer les vitesses et les formes ainsi que les propriétés qualitatives.
La seconde partie du cours décrira quelques modèles de dynamique des populations pour la biologie et différentes applications. Dans le cadre de ces modèles, on analysera les effets des environnements hétérogènes sur la persistance des espèces et la forme des invasions biologiques en fonction de l'environnement. On développera aussi des modèles permettant de décrire les effets de changements climatiques sur la persistance et la distribution de certaines espèces biologiques.
Ce cours est commun avec le M2 Mathématiques et applications de l'Université P. et M. Curie et sera enseigné à l'UPMC.
Théorie spectrale et méthodes variationnelles - 20h au 2nd semestre - Sorbonne U.
Mathieu Lewin (CEREMADE) et Éric Cancès (École des Ponts ParisTech)
Voir la page web du cours. Ce cours sera enseigné à l'UPMC.
Convexité cachée en analyse non-linéaire - 21h from March to April 2020 - ENS
Yann Brenier (DMA, ENS)
Les méthodes d'analyse convexe sont simples, puissantes et robustes mais paraissent souvent
d'utilisation limitée. L'objet du cours est d'étudier des exemples significatifs où une structure
convexe est dissimulée qui, une fois dévoilée, ouvre la voie à des résultats d'existence et
d'unicité globales inattendues.
On discutera notamment les équations de Monge-Ampère (qui interviennent en
géométrie), celles d'Euler (en mécanique des fluides) et de Born-Infeld (en électromagnétisme et physique
des hautes énergies).
Optimisation continue - 24h au 1er semestre - UPD
Antonin Chambolle (CEREMADE, UPD)
Cours le mardi après-midi de mi octobre à décembre, avec examen début janvier.
Thèmes abordés :
Analyse convexe (ensembles convexes, cônes convexes, fonctions convexes, conjugaison, sous-différentiabilité), problèmes variationnels (existence, unicité et caractérisation des solutions, conditions de KKT, condition du second ordre), dualité de Fenchel-Rockafellar, dualité lagrangienne, problèmes min-max, perturbations, opérateurs monotone, itérations fejériennes, algorithmes de points fixes et de zéro d'opérateurs monotones, applications aux inéquations variationnelles et à la décomposition de problèmes de minimisation sous contraintes, optimisation differentiable sous contraintes générales, conditions du premier et second ordre en optimisation non convexe differentiable.
Voir également la page
Flatness based nonlinear control - 30h from December 2020 to March 2021, at École des Mines de Paris
Jean Lévine (École des Mines)
This course is an introduction to the basics of nonlinear systems theory and control design, with a particular focus on combinations of motion planning and reference trajectory tracking. Solutions of these two problems are dramatically simplified in the class of differentially flat systems. This latter class is introduced in an elementary way, with many examples, and studied in the framework of the differential geometry of jets of infinite order.
Contents:
-
A brief introduction to differential geometry and dynamical systems
-
Control systems, controllability
-
System equivalence and differential flatness
-
Applications to motion planning
-
Applications to stable trajectory tracking.
Tentative schedule: Thursdays 16:30-19h30, from December to March, at École des Mines de Paris.
Quantum Systems: Dynamics and Control - 20h au 2nd semestre - Sorbonne U.
Mazyar Mirrahimi (INRIA) and Pierre Rouchon (Mines-ParisTech)
See the web page of the course. The course will be taught at UPMC.
Variational and geodesic methods for Image Analysis 21h au 2nd semestre - UPD
Laurent Cohen (CEREMADE)
This course, after giving a short introduction to digital image processing, will present an overview of variational methods for Image segmentation. This will include deformable models, known as active contours, solved using finite differences, finite elements, level sets method, fast marching method. A large part of the course will be devoted to geodesic methods, where a contour is found as a shortest path between two points according to a relevant metric. This can be solved efficiently by fast marching methods for numerical solution of the Eikonal equation. We will present cases with metrics of different types (isotropic, anisotropic, Finsler) in different spaces. All the methods will be illustrated by various concrete applications, like in biomedical image applications.
Régularité en théorie cinétique collisionnelle, résultats anciens et nouveaux - 20h au 2nd semestre à l'IHP - Clément Mouhot (U. Cambridge)
I - Theorie homogene en espace
1 Theories classiques de Carleman et Arkeryd, 2 Propagation des singularites et la regularite pour les interactions a courte portee, 3 Theorie parabolique pour les interaction a longue portee moderement singulieres; 4 Questions ouvertes et perspectives sur les interactions a longue portee tres singulieres
II - Theorie perturbative (environ 8h)
1 Theorie classique de Hilbert, Grad et Ukai (solutions perturbatives globales pour les spheres dures, sans conditions de bord); 2 La question de la decroissance aux grandes vitesses (factorisation du semi-groupe et elargissement de l'espace); 3 Propagation des singularites et de la regularite pour les interactions a courte portee (sans conditions de bord); 4 Solutions perturbatives dans un domaine borne; 5 Questions ouvertes et perspectives sur la regularite du "billard statistique" et des solutions perturbatives en domaine borne
III. Theorie conditionnelle
1 Propagation conditionnelle de la regularite pour les interactions a courte portee; .2 La conjecture de regularite conditionnelle pour les interactions a longue portee; 3 Extension de la theorie de De Giorgi-Nash-Moser aux equations hypoelliptiques; 4 Principes du maximum non-lineaires et bornes ponctuelles de decroissances; 5 Estimations de Schauder hypoelliptiques; 6 Resolution de la conjecture dans le cas d'interactions moderement singulieres; 7 Questions ouvertes et perspectives dans le cas tres singulier
Cours de Stéphane Mallat (Collège de France)
Chaire Sciences des données
Le cours aura lieu probablement le mercredi matin au Collège de France au second semestre
Pour plus d'information consulter le site : https://www.college-de-france.fr/site/stephane-mallat/_course.htm
La validation se fera sur projet, en travaillant sur l'un des challenge proposés sur le site : https://challengedata.ens.fr/en/home
Cours de Pierre-Louis Lions (Collège de France)
Chaire Partial Differential Equations and Applications
Le cours aura lieu probablement le vendredi matin au Collège de France au premier semestre
Pour plus d'information consulter le site : https://www.college-de-france.fr/site/en-pierre-louis-lions/_course.htm
Contrôle stochastique - 18h - UPD
Pierre Cardaliaguet (CEREMADE)
Les EDP et les problèmes de contrôle stochastique apparaissent naturellement en contrôle des risques, évaluation d'option, calibration, gestion de portefeuille, liquidation optimale d'ordre... L'objectif de ce cours est d'étudier les techniques fines associées et notamment de présenter en profondeur la notion de solution de viscosité qui s'est imposée ces dernières années.
Plan :
-
Espérances conditionnelles et EDP linéaires paraboliques
-
Formulation de problèmes de contrôle stochastique standards
-
Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman
-
Application à la gestion de portefeuille, aux problèmes d'arrêt optimal et de switching.
Processus à sauts - 18h - UPD
Julien Poisat (CEREMADE)
Voir la page web du M2 MASEF.
Large Deviation and Applications - 21h - UPD
Stefano Olla (CEREMADE)
Large deviations are at the center of modern probability and statistics.
The theory originated form the risk analysis for insurance companies.
Today there are applications in almost all domains of applied mathematics.
The program includes:
- Generalities on large deviations: Cramer Theorem and Varadhan's lemma. Variational principles.
- Local large deviations, applications in statistical mechanics (equivalence of ensembles).
- Connection with the viscous solutions in Hamilton-Jacobi equations.
Temps de mélange & chaînes de Markov, 24h - UPD
Justin Salez (CEREMADE)
Combien de fois faut-il battre un paquet de 52 cartes pour que la permutation aléatoire obtenue soit à peu près uniformément distribuée ? Ce cours est une introduction sans pré-requis à la théorie moderne des temps de mélange des chaînes de Markov. Un interêt particulier sera porté au célèbre phénomène de "cutoff", qui est une transition de phase remarquable dans la convergence de certaines chaînes vers leur distribution stationnaire. Parmi les outils abordés figureront les techniques de couplage, l'analyse spectrale, le profil isopérimétrique, ou les inégalités fonctionnelles de type Poincaré. En guise d'illustration, ces méthodes seront appliquées à divers exemples classiques issus de contextes variés: mélange de cartes, marches aléatoires sur les groupes, systèmes de particules en intéraction, algorithmes de Metropolis-Hastings, etc. Une place importante sera accordée aux marches sur graphes et réseaux, qui sont aujourd'hui au coeur des algorithmes d'exploration d'Internet et sont massivement utilisées pour la collecte de données et la hiérarchisation des pages par les moteurs de recherche.
Notes de cours, examen 2019 et correction (J. Salez)
Markov Chains and Mixing Times (D. Levin, Y. Peres & E. Wilmer)
Mathematical Aspects of Mixing Times in Markov Chains (R. Montenegro & P. Tetali)
Mixing Times of Markov Chains: Techniques and Examples (N. Berestycki)
Reversible Markov Chains and Random Walks on Graphs (D. Aldous & J. Fill)
Dimères et pavages aléatoires - 24h au 2nd semestre - SU & UPD
C. Boutillier & B. De Tilière, cours partagé avec le M2 Probabilités et Modèles Aléatoires
Résumé: Un domino est l’union de deux carrés unité partageant une arête. Étant donné un
rectangle m × n, est-il possible de le paver avec des dominos, c’est-à-dire de couvrir sa
surface avec des dominos sans qu’il y ait de chevauchements ? Si oui, de combien de façons
? À quoi ressemble un pavage typique ? Qu’en est-il pour un autre domaine obtenu en
découpant une portion du réseau Z 2 le long d’arêtes ?
En remplaçant Z 2 par le réseau triangulaire et les dominos par des losanges obtenus
en accolant deux triangles adjacents, on obtient un modèle de pavages par losanges. Les
pavages par dominos et par losanges sont des exemples de modèles de dimères. Ces
modèles étudiés par les physiciens (Fisher, Kasteleyn, Temperley. . . ) dans les années
1960 ont connu un regain d’intérêt dans la communauté mathématique à la fin des années
1990 qui a conduit à des développements impressionants de la théorie (Cohn, Johansson,
Kenyon, Okounkov, Propp, Sheffield, Wilson. . . )
Nous étudierons d’abord certains aspects combinatoires relatifs au dénombrement des
configurations de ces modèles, ainsi que les relations avec d’autres modèles combinatoires
(surfaces aléatoires, arbres couvrants, marches aléatoires à boucles effacées,. . . ).
Ensuite nous étudierons ces modèles sur des réseaux bipartis périodiques planaires infinis,
en donnant une classification des mesures de Gibbs ergodiques, et en mettant en relief le
lien entre quantités probabilistes et objets algébriques liés à la structure de ces réseaux.
Puis, nous discuterons de la forme typique d’un pavage par dominos d’un grand do-
maine (phénomène du cercle arctique, forme limite déterministe). Les fluctuations autour
du comportement limite macroscopique peuvent être reliées au spectre des grandes matri-
ces aléatoires d’une part, et au champ libre gaussien sans masse d’autre part, impliquant
des propriétés d’invariance conforme de ces modèles dans la limite d’échelle.
Méthodes de Monte-Carlo et méthodes déterministes pour les équations paraboliques - 30h au 1er semestre - UPD
Julien Claisse (CEREMADE)
Voir la page web du M2 MASEF.
Géométrie algébrique réelle - 20h au 2nd semestre - ENS Paris
Olivier Benoist (DMA, ENS)
Une variété algébrique réelle est le lieu des zéros d’une famille d’équations polynomiales à
coefficients réels. Si elle est non singulière, l’ensemble des solutions complexes (resp. réelles)
de ces équations est une variété algébrique complexe lisse (resp. une variété différentielle).
Le thème principal du cours sera l’interaction entre la géométrie de lapremière et la topologie
de la seconde. On abordera notamment le théorème de Nash–Tognoli: toute variété différentielle
compacte est l’ensemble des points réels d’une variété algébrique réelle. On étudiera également
la géométrie et la topologie des sous-variétés des variétés algébriques réelles.
Cours de Claire Voisin (Collège de France)
Chaire Sciences des données
Pour plus d'information consulter le site : https://www.college-de-france.fr/site/en-claire-voisin/_course.htm
La validation se fera sur présentation d'un exposé
Gravitation classique et Mécanique céleste - 30 h au 1er semestre - Observatoire de Paris
Gwenaël Boué (Observatoire de Paris)
Les étudiants souhaitant suivre ce cours devront préalablement contacter G. Boué ou J. Laskar pour pouvoir pénétrer dans l'Observatoire.
La mécanique céleste est plus vivante que jamais. Après un renouveau résultant de la conquête spatiale et de la nécessité des calculs des trajectoires des engins spatiaux, un deuxième souffle est apparu avec l’étude des phénomènes chaotiques. Cette dynamique complexe permet des variations imporantes des orbites des corps célestes, avec des conséquences physiques importantes qu’il faut prendre en compte dans la formation et l’évolution du système solaire. Avec la découverte des planètes extra solaires, la mécanique céleste prend un nouvel essor, car des configurations qui pouvaient paraître académiques auparavant s’observent maintenant, tellement la diversité des systèmes observés est grande. La mécanique céleste apparaît aussi comme un élément essentiel permettant la découverte et la caractérisation des systèmes planétaires qui ne sont le plus souvent observés que de manière indirecte.
Le cours a pour but de fournir les outils de base qui permettront de mieux comprendre les interactions dynamiques dans les systèmes gravitationnels, avec un accent sur les systèmes planétaires, et en particulier les systèmes planétaires extra solaires. Le cours vise aussi à présenter les outils les plus efficaces pour la mise en forme analytique et numérique des problèmes généraux des systèmes dynamiques conservatifs.
Thèmes abordés:
-
Le problème des deux corps. Aperçu de quelques intégrales premières, réduction du nombre de degrés de liberté, trajectoire, évolution temporelle. Développements classiques du problème des deux corps
-
Introduction à la mécanique analytique. Principe de moindre action, Lagrangien, Hamiltonien
-
Équations canoniques. Crochets de Poisson, intégrales premières, transformations canoniques
-
Propriétés des systèmes Hamiltoniens. Systèmes intégrables. Flot d’un système Hamiltonien
-
Intégrateurs numériques symplectiques
-
Systèmes proches d’intégrable. Perturbations. Série de Lie
-
Développement du potentiel en polynômes de Legendre
-
Evolution à long terme d’un système planétaire hiérarchique, mécanisme de Lidov- Kozai. Application aux exoplanètes
-
Mouvements chaotiques
-
Exposants de Lyapounov. Analyse en fréquence
Déformations des groupes discrets dans les groupes de Lie - 20h au 2nd semestre - ENS Paris
Nicolas Tholozan (DMA, ENS)
Ce cours portera sur l’étude des sous-groupes discrets de SL(n;R) ou SL(n;C) (et plus généralement
d’un groupe de Lie semisimple). Nous nous intéresserons plus particulièrement aux propriétés
d’“hyperbolicité” de certains de ces groupes.
Pour cela, nous commencerons par introduire la notion de groupe hyperbolique au sens de Gromov.
Nous présenterons les premières propriétés de cette notion (compactification équivariante, invariance par
quasi-isométrie...). Parmi ces groupes, certains se réalisent comme groupes discrets d’isométries de l’espace hyperbolique. Ce sont les sous-groupes convexes cocompacts de SL(2;C). Nous en décrirons quelques exemples.
Nous introduirons ensuite la notion sous-groupe Anosov qui généralise au rang supérieur celle de
sous-groupe cocompact. Nous présenterons les premières propriétés dynmaiques et géométriques de
ces groupes, et les nombreux exemples que cette notion englobe.
Références
[1] Étienne Ghys et Pierre De la Harpe, Sur les Groupes hyperboliques d’après Mikhael Gromov,
Birkhäuser, Boston, MA, 1990.
[2] Olivier Guichard et Anna Wienhard, Anosov representations : domains of discontinuity and applications, Inventiones Mathematicae, 190(2), 2012, p. 357-438.
[3] Michael Kapovich, Berhard Leeb et Joan Porti, A Morse lemma for quasi-geodesics in symmetric spaces and Euclidean buildings, Geometry and Topology, 22, 2018, p. 3827-3923.1
Introduction à la topologie symplectique I (et II) (I : Janvier-Avril II: Avril-Juin) - ENS Paris
Claude Viterbo (DMA, ENS)
La topologie symplectique étudie les propriétés topologiques des objets de la géométrie symplectique: variétés symplectiques et de contact, sous-variétés lagrangiennes, flots Hamiltoniens. Elle a des relations avec les systèmes dynamiques, géométrie algébrique réelle ou complexe.
La topologie symplectique s'est développée de manière spectaculaire dans les 35 dernières années et un trimestre lui est consacré à l'IHP d'avril à juillet 2021.
Ce cours constitue en une introduction aux résultats de base de la topologie symplectique par la méthode des fonctions génératrices ce qui permet d'introduire rapidement les capacités symplectiques et leurs applications.
Dans une seconde partie du cours, on montrera comment le point de vue de la théorie des faisceaux de Kashiwara et Shapira permet de généraliser ces méthodes dans un cadre plus général et faire le lien avec la théorie de Floer.