Nouvelle offre de cours de mathématiques
en Licence de mathématiques appliquées

Table des matières

1. Bloc fondamental

La répartition entre CM et TD ne remet pas en cause les CM/TD de L1. Elle indique juste une répartition prévisionnelle des cours et des exercices.

Semestre Nouvelle offre CM+TD+TP ECTS Offre ancienne CM+TD+TP ECTS
S1 Analyse 1 4 7 Analyse 1 4 7
  Algèbre linéaire 1 4 7 Algèbre linéaire 1 4 7
S1 total   8 14   8 14
S2 Analyse 2 2+2 8 Analyse 2 1+2 6
  Algèbre linéaire 2 2+2 8 Algèbre linéaire 2 1+2 6
        Introduction aux probabilités 1+1 4
S2 total   4+4 16   3+5 16
S3 Analyse 3 2+3 8 Analyse 3 1+2 5
  Algèbre linéaire 3 2+2 8 Algèbre linéaire 3 1+2 5
        Probabilités 1 1+2 5
S3 total   4+5 16   3+6 15
S4 Analyse 4 1+2 6 Analyse 4 1+2 6
  Introduction aux probabilités 1+2 6 Probabilités 2 1+1+1 6
  Algèbre linéaire 4 et méthodes numériques 1+1+1 4 Méthodes numériques 1+1+1 4
S4 total   3+5+1 16   3+4+2 16
S5 Intégration & Probabilités 3+3 10 Intégration & Probabilités 2+2 8
  Calcul différentiel 1 2+2 6 Calcul différentiel 2+2 8
  Modélisation statistique 1+1+0,5 4 Stat 1 1+1+0,5 4
S5 total   6+6+0,5 20   5+5+0,5 20
S6 Statistiques mathématiques 1+1 6 Stat2 1+1 5
  Analyse fonctionnelle 1+2 7 Analyse fonctionnelle 1+2 5
  Calcul différentiel 2 et optimisation numérique 1+1+1 6 Équations différentielles 1+1 6
        Méthodes numériques 1+1+0,5 4
S6 total   4+4 20   4+5+0,5 20

2. Options de L3

  Nouvelle offre Ancienne offre
S5 (une option) Graphes Analyse complexe
  Microéconomie Relativité
  Mécanique quantique Mécanique quantique
  Algèbre Info 1 et 2
  Relativité Microéconomie
    Produits dérivés et gestion des risques
S6 (trois options) Programmation linéaire Algèbre
  Machine learning Théorie des jeux
  Théorie des jeux Physique statistique
  Économie dans l'incertain Programmation linéaire
  Produits dérivés et gestion des risques Économie dans l'incertain
  Physique statistique Mécanique des fluides
  Introduction aux EDP  
  Analyse complexe  
  LV2 ou sport  

Les numéros d'item sont des numéros d'amphi (ou de semaine pour les cours de L1-S1). Ce découpage est purement indicatif. Les responsables des UE de tronc commun devront veiller à la cohérence de la licence (ce qui interdit de changer substantiellement le contenu). En revanche, ils pourront exercer leur liberté pédagogique dans la façon de couvrir ce contenu.

3. Semestre 1

3.1. Algèbre et probabilités (L1 S1 – 2+2)

Pré-rentrée Raisonnement

  1. Logique : proposition, quantificateur
  2. Ensembles : construction, inclusion, égalité, intersection, union, complémentaire, produit
  3. Méthodes de démonstration : implication, équivalence, contraposée
  4. Méthodes de démonstration : absurde, récurrence, analyse-synthèse

Cours principal

  1. Applications, images directe et réciproque
  2. Injection, surjection, bijection
  3. Ensembles finis, partition (sans insister sur les relations d'équivalence), niveaux d'une application
  4. Dénombrement : permutation, combinaison, répétition
  5. Vocabulaire des probabilités finies: probabilité, événement, arbre, probabilité conditionnelle
  6. Application induite sur une partition. Congruence, angles. Fonctions trigonométriques sur le cercle ℝ/ℤ
  7. Le corps des nombres complexes, conjugaison, module, racines de l'unité
  8. Calculs en complexes, formules de linéarisation trigonométrique
  9. Transformation du plan. Translations, symétries, rotations, homothéties
  10. Fonction polynomiale, racine, théorème de d'Alembert-Gauss

3.2. Limites et continuité (L1 S1 – 2+2)

Pré-rentrée Calcul

  1. Identités, somme finies, inégalités
  2. Fonctions usuelles (valeur absolue, exp et ln, puissance réelle, racine n-ieme), calcul de limite et dérivation, graphe d'une fonction et bijection réciproque
  3. Fonctions trigonométriques
  4. Primitives usuelles

Cours principal

  1. L'ensemble ℝ, propriété de la borne supérieure
  2. Majorant, minorant, maximum, minimum
  3. Suite, limite
  4. Opérations sur les limites, comparaison
  5. Suite extraite, valeur d'adhérence pour une suite réelle ou complexe
  6. Liminf et limsup d'une suite réelle
  7. Fonctions, limite, caractérisation séquentielle d'une limite
  8. Continuité, caractérisation séquentielle de la continuité
  9. Valeurs intermdédiaires, bornes atteintes
  10. Bijection, prolongement par continuité

4. Semestre 2

4.1. Algèbre linéaire (L1 S2 – 2+2)

Calcul matriciel

  1. Matrice, somme, produit , puissance
  2. Formule du binôme, trace, transposée
  3. Matrices équivalentes, forme normale Jr, rang d'une matrice
  4. Le déterminant en dimension 2 comme aire orientée des parallélogrammes
  5. Permutation et signature
  6. Le déterminant comme forme multilinéaire alternée, multiplicativité
  7. Invertibilité et déterminant
  8. Développement d'un déterminant. Déterminants classiques
  9. Systèmes linéaires, méthode du pivot
  10. Interprétation matricielle (transvections, dilatations, permutations), image et noyau
  11. Matrice par blocs, inversion de matrice

Espaces vectoriels et applications linéaires

  1. ℝn, espace vectoriel réel
  2. Sous-espace
  3. Application linéaire et opérations
  4. Image, noyau, isomorphisme
  5. Sous-espace engendré, familles génératrices
  6. Famille libre
  7. Base
  8. Exemples
  9. Dimension finie
  10. Somme de sous-espaces
  11. Somme directe, supplémentaire
  12. Matrice dans des bases, changements de base, applications équivalentes
  13. Applications conjuguées (=semblables)
  14. Invariance par conjugaison de la trace et du déterminant
  15. Projecteurs

4.2. Analyse réelle (L1 S2 – 2+2)

Ne pas oublier la pratique régulière du calcul pendant toute l'UE.

La dérivation, les DL et applications

  1. Dérivation, approximation affine et tangente au graphe
  2. Théorème généraux (Rolle, AF). Fonctions Lipschitz, contractantes
  3. Dérivation et monotonie. Régularité Cn
  4. Formules de Taylor-Young, Lagrange
  5. Relation de comparaison : équivalence et négligeabilité, formule de Taylor Young, DL de référence
  6. Opérations sur les DL, calculs explicites de DL
  7. Développements asymptotiques de suites
  8. Convexité
  9. Application à l'optimisation
  10. Suite récurrente d'ordre 1 dans ℝ. Suite affine ou homographique
  11. Point fixe, stabilité
  12. Modèle logistique, convergence et vitesse de convergence
  13. Méthodes d'encadrement : dichotomie, fausse position
  14. Théorème de Picard dans ℝ
  15. Exemple des méthodes de Newton-Raphson, preuve de convergence

Intégrale de Riemann

  1. Continuité uniforme, module de continuité uniforme
  2. Théorème de Heine réel
  3. Intégrale de Riemann des fonctions continues par morceaux
  4. Théorème fondamental de l'analyse, IPP
  5. Formule de Taylor avec reste intégral
  6. Changement de variable, décomposition en éléments simples
  7. Fonction en escalier. Somme de Riemann

EDO élémentaires

  1. Séparation de variables pour les EDO en dimension 1,
  2. Exemple des EDO linéaires (y'=a(t)y+b(t), y''=ay'+by+c à coefficients constants)
  3. Exemples non linéaires dans le plan, x'=x2 (explosion en temps fini)

5. Semestre 3

5.1. Algèbre (L2 S1 – 2+2)

  1. Similitude d'endomorphismes. Notion d'invariant. Exemple du polynôme caractéristique
  2. Sous-espaces stables, vecteurs et valeurs propres
  3. Exemples de systèmes (équations linéaires, suites récurrentes, équations linéaires à coefficients constants) en dimension 2
  4. Diagonalisation, diagonalisabilité
  5. PGCD de polynômes
  6. Polynôme annulateur, polynôme minimal, lien avec la diagonalisabilité
  7. Rappel sur le lemme de Bézout
  8. Lemme de décomposition des noyaux, théorème de Cayley-Hamilton
  9. Trigonalisation, trigonalisabilité
  10. Forme de Jordan (noyaux itérés, dimensions 2 et 3 par l'exemple), sous-espaces caractéristiques
  11. Retour sur les systèmes d'ordre 1 en dimension 2
  12. Formes bilinéaires (réelles), représentation matricielle, non dégénérescence
  13. Formes quadratiques réelles, orthogonalité, polarisation (principalement des exemples)
  14. Réduction de Gauss des formes quadratiques, classification des formes quadratiques
  15. Coniques et quadriques
  16. Signature d'une forme quadratique, inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkoswki
  17. Espaces euclidiens : produit scalaire, norme associée, orthogonalité
  18. Orthonormalisation de Gram-Schmidt
  19. Projection orthogonale et application à la résolution du problème aux moindres carrés
  20. Isométrie vectorielle, endomorphisme orthogonal
  21. Diagonalisation des matrices symétriques
  22. (*) Diagonalisation d'un endomorphisme normal
  23. Principe de l'analyse en composantes principales
  24. O3, SO3, axe, angle

5.2. Analyse 3 (L2 S1 – 2+3)

Séries numériques

  1. Suites de Cauchy
  2. Séries numériques
  3. Critères de convergence pour les séries à termes positifs
  4. Comparaison séries-intégrales

Convergence uniforme

  1. Convergence simple et uniforme de suites de fonctions
  2. Propriétés de la convergence uniforme, théorème de Weierstrass
  3. Convergences simple, normale et uniforme d'une série de fonctions
  4. Régularité locale (continuité et dérivabilité) d'une limite uniforme
  5. Interversion série/limite, interversion série/intégralesur un segment
  6. Applications

Application aux séries entières

  1. Série entière complexe, rayon de convergence, somme et produit de séries entières convergentes
  2. Régularité: convergence normale sur tout disque fermé, caractère C^∞ sur le disque de convergence ouvert. Intégration, dérivation
  3. Fonction développable en série entière sur un intervalle ouvert. Catalogue des développements usuels
  4. Applications: résolution d'équations différentielles linéaires, fonction génératrice d'une variable aléatoire réelle discrète

Intégrales généralisées

  1. Intégrale généralisée, convergences absolue, semi-convergence.
  2. Exemple d'une fonction non intégrable mais d'intégrale convergente : sin(x)/x. Intégration par parties généralisées.
  3. Critères en xα en l'infini et près de zéro. Équivalence et comparaison de fonctions positives

Espaces métriques

  1. Espaces métriques, équivalence de distances. Exemple des espaces vectoriels de dimension finie
  2. Limites de suites (dans les espaces métriques) : définition, unicité
  3. Autres exemples: espaces préhilbertiens ou vectoriels normés de la partie 2, normes équivalentes
  4. Boules, voisinages, séparation de points
  5. Points intérieur, adhérent, isolé et d'accumulation. Ouvert, fermé
  6. Exemples. Propriétés fondamentales d'une topologie. Intérieur et adhérence, caractérisation séquentielle
  7. Intérieur, adhérence, et frontière
  8. Parties denses, parties bornées, diamètre

6. Semestre 4

6.1. Analyse 4 (L2 S2 – 1+2)

  1. Suites extraites et valeurs d'adhérence. Théorème de Bolzano-Weierstrass dans ℝn. Opérations et limites
  2. Limites simple et uniforme d'une suite de fonctions
  3. Continuité d'une limite uniforme de fonctions continues. Cas de ℝn
  4. Image continue d'un compact. Théorème de Heine. Compacité dans les espaces vectoriels normés
  5. Compacité au sens de Borel-Lebesgue: définition, exemple
  6. Ouvert induit, connexité, connexité par arc
  7. Complétude, suites de Cauchy : définition, propriétés élémentaires, exemples
  8. Liens entre complétude et fermeture. Espaces de Banach : définition, suites normalement convergentes
  9. Caractérisation de la continuité des applications linéaires, dimension finie, norme d'opérateur
  10. Continuités directionnelle et conjointe d'une fonction de plusieurs variables
  11. Dérivation d'une fonction de deux variables
  12. Dérivées partielles d'une fonction de deux variables

6.2. Algèbre 4 et méthodes numériques (L2 S2 – 1+1+1)

  1. Retour numérique sur les méthodes de résolution d'équations non-linéaires (cf. L1)
  2. Existence et unicité du polynôme d'interpolation de Lagrange, erreur d'interpolation
  3. Contre-exemple de Runge et choix des noeuds d'interpolation, interpolation par morceaux
  4. Polynôme de meilleure approximation, lien avec le théorème de Weierstrass
  5. Intégration numérique: formules de quadrature. Estimations d'erreur (admises) et formules de quadrature composées
  6. Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires : introduction, résolution des systèmes triangulaires
  7. Rappels sur l'élimination de Gauss, stratégies de choix du pivot
  8. Interprétation matricielle de l'élimination : factorisations LU et QR
  9. Notion de conditionnement, méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires
  10. Méthode de Jacobi, méthode de Gauss-Seidel, SOR
  11. Calcul de valeurs propres : méthode de la puissance, techniques de déflation
  12. Méthode de la puissance inverse avec translation
  13. Mise en œuvre de l'analyse en composantes principales

6.3. Introduction aux probabilités (L2 S2 – 1+2)

Profiter de ce cours pour faire des calculs élémentaires et des exercices de mise en situation qui utilisent les probabilités (arrêt de bus, jeux de cartes, etc).

  1. Univers, résultat, événement, opérations ensemblistes
  2. Probabilité sur un univers dénombrable (sur l'ensemble des parties de l'espace : pas de tribus, pas de mesures)
  3. Exemples de probabilités sur des ensembles finis ou infinis dénombrables
  4. Extension aux probabilités à densité sur ℝ (dimension 1 uniquement)
  5. Variable aléatoire réelle, loi, fonction de répartition
  6. Espérance, variance, écart-type
  7. Distributions classiques
  8. Statistique descriptive, fonction quantile, paramètre de position
  9. Probabilité conditionnelle, indépendance
  10. Formule des probabilités totales
  11. Inégalités de Markov et de Tchebycheff, loi faible des grands nombres
  12. Espérance conditionnelle
  13. Matrice de transition, comportement asymptotique des marches aléatoires

7. Semestre 5

7.1. Intégration et probabilités (L3 S1 - 3+3)

Intégrale de Lebesgue

  1. Rappels sur l'intégrale de Riemann.
  2. Fonctions Riemann-intégrables, fonction caractéristique de ℚ
  3. Tribu, tribu engendrée, tribu borélienne sur ℝ, sur la droite achevée et sur ℝn, tribu produit
  4. Tribu réciproque (“tribu engendrée par une v.a.”), tribu image
  5. Mesures positives, probabilités
  6. Fonctions mesurables, lien avec la continuité, opérations sur les fonctions mesurables, mesure image
  7. Classe monotone, exemple : unicité de la mesure de Lebesgue
  8. Fonctions étagées, intégrale des fonctions étagées positives
  9. Approximation des fonctions mesurables par des fonctions étagées, intégrale des fonctions mesurables
  10. Lemme de Fatou, théorème de convergence monotone
  11. Fonctions intégrables, théorème de convergence dominée
  12. Intégrales dépendant d'un paramètre
  13. Lien avec le calcul différentiel
  14. Lien avec l'intégrale de Riemann
  15. Espaces L1 et L2, complétude
  16. Espaces Lp, inégalités de Hölder, Jensen, Minkowski
  17. Mesures produit
  18. Théorème de Fubini
  19. Formule du changement de variables

Probabilités

  1. Espace de probabilité. Variable aléatoire et loi d'une variable aléatoire. Variables discrètes ou à densité
  2. Espérance et loi d'une variable aléatoire, lois marginales
  3. Moments d'ordre p, variance, inégalités associées
  4. Fonction caractéristique, caractérisation de la loi, exemples
  5. Indépendance
  6. Loi produit, caractérisations de l'indépendance
  7. Regroupements par paquets, indépendance dans le cadre d'une famille infinie
  8. Lemme de Borel-Cantelli, loi faible des grands nombres, loi du 0-1
  9. Notions de convergence
  10. Implications entre les modes de convergence
  11. Loi forte des grands nombres
  12. Convergence en probabilités
  13. Théorème central limite
  14. Vecteurs gaussiens
  15. Espérance conditionnelle dans L2
  16. Théorème de Radon-Nikodym
  17. Espérance conditionnelle dans L1

7.2. Calcul différentiel 1 (L3 S1 - 2+2+0,5)

Ce cours permet de réviser beaucoup de notions d'analyse et d'algèbre linéaire de L1 et L2.

Différentielle

  1. Courbe paramétrée dans ℝn. Tangente orientée
  2. Application dérivable sur un ouvert de ℝn ou d'un espace vectoriel réel de dimension finie
  3. Dérivée partielle
  4. Accroissements finis
  5. (Interlude de topologie) Complétude d'espace fonctionnel et le théorème du point fixe

Le théorème de l'inversion locale et ses amis

  1. Homéomorphismes et difféomorphismes
  2. Théorème d'inversion locale (avec preuve)
  3. Corollaires et exemples
  4. Théorème des fonctions implicites
  5. Exemples d'application du TFI

Étude théorique et numérique des EDO

  1. Equations différentielles, motivations et exemples de la physique (Newton, SIR, Lotka-Volterra)
  2. Rappel sur la forme normale de Jordan et sa réellification
  3. Systèmes linéaires à coefficients constants, exponentielle
  4. Cas de la dimension, portraits de phases, conjugaison
  5. Systèmes linéaires (fin). Équations d‘ordre supérieur
  6. Équations d‘ordre supérieur à coefficients constants. Principe de comparaison linéaire
  7. Cas des équations autonomes en dimension 1, méthode de séparation des variables. Cas de la dimension 2
  8. Équations non-linéaires : théorème de Cauchy-Lipschitz, théorème de redressement
  9. Solution maximale, explosion en temps fini, existence globale
  10. Lemme de Gronwall, continuité par rapport à la donnée initiale
  11. Équations autonomes. Trajectoires, équilibres, linéarisation de l'équilibre, stabilité linéaire
  12. Schémas d'Euler implicite et explicite
  13. Méthode de RK explicites
  14. Stabilité, consistance et convergence
  15. Introduction à la stabilité de Lyapunov, fonction de Lyapunov
  16. Exemple de Lokta-Volterra

7.3. Modélisation statistique (L3 S1 1+1+0,5)

  1. La démarche statistique
  2. Rappel sur les variables aléatoires, paramètres de positions
  3. Modèles statistiques
  4. Modèles paramétrés. Familles exponentielles en dimension 1
  5. Fonction de vraisemblance
  6. Estimateur des moments
  7. Propriétés des estimateurs : biais, variance, EQM, comparaison d'estimateurs.
  8. Intervalle de confiance (cas gaussien, cas asymptotique simple)
  9. Notion de test : cas gaussien et Bernoulli. Notion de p-valeur en pratique. Dualité tests/régions de confiance. Niveau et puissance.
  10. Tests du Chi2 : Test d'ajustement à une famille paramètre de lois et test du Chi2 d'indépendance

8. Semestre 6

8.1. Statistiques mathématiques (L3 S2 – 1+1)

  1. Point de vue asymptotique : suite d'estimateurs et consistance
  2. Méthode des moments et méthode du maximum de vraisemblance (rappels et extension multivariée )
  3. Normalité asymptotique et estimation sans biais
  4. Information de Fisher et borne de Cramér-Rao
  5. Suffisance et complétude. Théorème de Rao-Blackwell et Lehmann-Scheffè
  6. Intervalles de confiance exacts et asymptotiques
  7. Tests d'hypothèses : généralités, formalisme et démarche expérimentale
  8. Tests d'hypothèses : p-valeur, botanique des tests et dualité tests/régions de confiance
  9. Tests fondés sur la vraisemblance
  10. Tests asymptotiques : consistance d'une suite de tests et test de Wald
  11. Tests d'ajustement
  12. Inférence bayésienne

8.2. Analyse fonctionnelle (L3 S2 – 1+2)

  1. Rappels de topologie: continuité uniforme, application Lipchitz, prolongement des applications linéaires continues
  2. Espaces Lp
  3. Convolution de fonctions, support
  4. Approximation de l'unité
  5. Transformation de Fourier dans L1(ℝ)
  6. Inversion de la transformation de Fourier dans L1
  7. Extension de la TF dans L2
  8. Espaces de Hilbert
  9. Projection sur un convexe fermé, projection sur un sev fermé, théorème de Riesz
  10. Orthogonalité, inégalité de Bessel
  11. Complétude, bases hilbertiennes, égalité de Plancherel
  12. Séries trigonométriques et de Fourier
  13. Théorèmes de convergence

8.3. Calcul différentiel 2 et optimisation numérique (L3 S2 – 1+2+0,5)

  1. Dérivées d'ordre supérieur, formule de Taylor avec reste intégrale
  2. Convexité
  3. Convexité, coercivité, fonctions alpha-convexes
  4. Optimisation libre
  5. Rappel des taux de convergence des suites, Méthode de Newton multi-d, et méthode de gradient (présentation informelle)
  6. Descente de gradient : ensembles de niveau, descente à pas constante, étude de la convergence et lien avec les valeurs propres
  7. Descente de gradient dans le cas non-linéaire, descente à pas optimal
  8. Descente à pas optimal
  9. Règles d'Armijo, règle de Wolfe
  10. Gradient conjugué
  11. Sous-variétés, équation et paramétrage d'une sous-variété
  12. Espace tangent
  13. Théorème des extremas liés

Auteur: Département Mido

Created: 2024-03-16 sam. 16:43

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