Given a probability measure, we seek to approximate it with a measure uniformly distributed over a connected 1-rectifiable set. For this we minimize the Wasserstein distance of the initial measure to the set of such uniformly distributed measures and add a regularization term that penalizes the length of the support. This problem falls in the class of 1D shape optimization problems, but the standard tools used to prove existence in the literature are not adapted to show existence due to concentration of mass phenomenons. To overcome this issue, we propose a relaxed problem, for which existence can be achieved with the direct method. We then show that whenever the initial measure does not give mass to 1-rectifiable sets, the solution to the relaxed problem coincides with the original shape optimization problem.

Le second âge du fer, entre 450 et 25 av. J.-C., est marqué par un développement urbain sans précédent dans l'Europe non méditerranéenne qui est concomitant à une explosion des échanges à moyenne et longue distance. Des changements économiques majeurs participent à l'émergence de sociétés européennes dépendant fortement du commerce. Ces échanges sont attestés par de très nombreux artefacts découverts très loin de leurs sites de production et par quelques traces écrites (par Strabon, Diodore de Sicile ou encore Jules César). Au delà de ces éléments, peu de choses sont connues sur l'organisation concrète des échanges, notamment sur les modes de transport empruntés, les flux échangés, etc.

L'objectif de ce travail est d'étudier dans quelle mesure la combinaison d'une collection d'outils mathématiques classiques peut être mobilisée pour construire des modèles plausibles d'interaction à partir des connaissances très parcellaires issues des fouilles archéologies et des sources historiques. Nous étudions en particulier une large zone du centre-est de la Gaule (environ 260 000 km^2) dans laquelle nous avons identifié 309 habitats groupés (sites) avec leur
période d'occupation plausible entre le 4ème et le 1er siècles av. J.-C.

À partir d'un modèle de terrain détaillé (à 90m) et d'une étude hydrologique sur les sections navigables des fleuves de la région, nous construisons des chemins optimaux bi-modaux entre les sites étudiés. Ces chemins dépendants de paramètres de coût imprécis ou totalement inconnus, nous réalisons une étude de sensibilité qui nous permet de sélectionner des configurations plausibles et donc des coûts d'échange plausibles entre les sites étudiés.

Dans un deuxième temps, nous utilisons le modèle d’interaction spatiale de Harris, Rihll et Wilson pour estimer les flux d’échange entre les sites et, en conséquence, l'importance relative de ceux-ci. Confrontés de nouveau à des paramètres difficiles à choisir a priori, nous réalisons une nouvelle étude de sensibilité qui fait apparaître des configurations stables d'échange mais aussi tout un ensemble de structures plausibles qui questionnent la pertinence de l'utilisation de ce type de modèles en archéologie.

On étudie l’étalement d’un paquet d’onde dans une chaîne uni-dimensionnelle en présence de désordre et d’interactions anharmoniques (quartiques). Plusieurs résultats numériques suggèrent un étalement selon une loi de puissance alors que des résultats théoriques et mathématiques suggèrent un étalement beaucoup plus lent. Je présenterai un théorème mathématique et des résultats numériques qui montrent qu’une loi de puissance, différente du vrai régime asymptotique, peut être observée pendant un temps très long. Issu d’un travail en collaboration avec O. Prosniak et W. De Roeck.

The bid-ask spread, defined at a given time in a Limit Order Book by the difference between the best selling price and the best buying price, is a quantity of great interest for financial securities. In this work, we design a dynamical model for spread fluctuations based on Hawkes processes, we call it “State-dependent Hawkes model”. This model can capture many different quantities, mainly : the spread distribution, the inter-event time distribution and the autocorrelation function.

We design a market making model à la Avellaneda and Stoikov in which the market takers act strategically, in the sense that they design their trading strategy based on an exogenous trading signal. The market maker chooses her quotes based on the average market takers’ behaviour, modelled through a mean-field interaction. We derive, up to the resolution of a coupled HJB–Fokker–Planck system, the optimal controls of the market maker and the representative market taker. This approach is flexible enough to incorporate different behaviours for the market takers and takes into account the impact of their strategies on the price process.