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Cette thèse traite du comportement en temps long des équations stochastiques de Fokker-Planck en présence d'un bruit commun additif et présente des méthodes statistiques pour estimer la mesure invariante des processus de diffusion ergodiques multidimensionnels à partir de données bruitées. Dans la première partie, nous analysons les équations différentielles partielles stochastiques de type Fokker-Planck non linéaires, obtenues comme la limite du champ moyen de systèmes de particules en interaction dirigés par des bruits browniens idiosyncrasiques et en présence de bruit commun. Nous établissons des conditions sous lesquelles l'ajout d'un bruit commun premet de restaurer l'unicité de la mesure invariante. La principale difficulté provient de la dimension finie du bruit commun, alors que la variable d'état -interprétée comme la loi marginale conditionnelle du système compte tenu du bruit commun - opère dans un espace de dimension infinie. Nous démontrons que l'unicité est rétablie dès lors que le terme d'interaction du champ moyen attire le système vers sa moyenne conditionnelle (par rapport au bruit commun), en particulier lorsque l'intensité du bruit idiosyncrasique est faible, qui sont des cas typiques de perte d'unicité en l'absence de bruit commun. Dans la deuxième partie, nous développons une méthodologie statistique afin d'approximer la mesure invariante d'un processus de diffusion à partir d'observations bruitées et discrètes de ce même processys. Cette méthode implique une technique de pré-moyennage des données qui réduit l'intensité du bruit tout en conservant les caractéristiques analytiques et les propriétés asymptotiques du signal sous-jacent. Nous étudions le taux de convergence de cet estimateur, qui dépend de la régularité anisotrope de la densité et de l'intensité du bruit. Nous établissons ensuite des conditions sur l'intensité du bruit qui permettent d'obtenir des taux de convergence comparables à ceux des cas sans bruit. Enfin, nous démontrons une inégalité de concentration de type Bernstein pour notre estimateur, ce qui premet de mettre en place une procédure adaptative pour la sélection de la fenêtre du noyau.
M. Marc HOFFMANN, Professeur des universités, Université Paris Dauphine – PSL, Directeur de thèse
M. Pierre CARDALIAGUET, Professeur, Université Paris Dauphine – PSL, Directeur de thèse
M. Paul GASSIAT, Maître de conférences, Université Paris Dauphine – PSL, Examinateur
Mme Eva LOCHERBACH, Professeur des universités, Université Paris 1 Panthéon Sorbonne, Examinatrice
M. Arnaud GLOTER, Professeur des universités, Université d'Évry Val d'Essonne, Examinateur
M. Jean-François CHASSAGNEUX, Professeur Université, Paris-Cité, Examinateur
Mme Fabienne COMTE, Professeur des universités, Université Paris Cité, Rapporteure
M. Daniel LACKER, Associate professor, Columbia University, Rapporteur
