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Dans cette thèse nous étudions trois problèmes liés au phénomène de régularisation par un bruit fractionnaire, c'est-à-dire l'équation différentielle stochastique: [ dx_t = b(x_t) dt + dW^H_t ] où $W^H$ est un mouvement brownien fractionnaire et $b$ est une fonction irrégulière, possiblement une distribution. Dans le première chapitre, nous étudions cette équation avec la contrainte additionnelle: [ dx_t = b(x_t) dt + dW^H_t + dK_t ] Où dK est une perturbation qui est également une fonction de la trajectoire, par exemple la mesure de réflexion. Nous montrons l'unicité de solutions de cette équation en utilisant des techniques similaires à celles employées par Catellier-Gubinelli. Dans le deuxième chapitre nous étudions la limite de zéro bruit pour la même équation, ou $b$ est une fonction de puissance singulière en dimension un. C’est lie à un exemple de Peano et à un problème de sélection venant de la mécanique des fluides. Nous établissons la convergence vers une de deux solutions qui partent immédiatement de l’origine en employant des techniques venant de l'étude des EDS fractionnaires. Dans le troisième chapitre nous présentons les travaux en cours pour la même question, mais en dimension 2. En particulier, la fonction $b$ peut disparaître sur certaines parties de domaines. Dans ce cas, il faut construire le temps tel que le système reviendra vers le domaine { b > 0}. Nous utilisons des méthodes similaires à celles du chapitre deux, mais nous n'arrivons qu'à établir des résultats partiels. Nous présentons des conjectures et les étapes possibles pour obtenir le résultat souhaité.
M. Paul GASSIAT, Maître de conférences, UNIVERSITE PARIS DAUPHINE – PSL, Directeur de thèse
M. Alexandre RICHARD, Maître de conférences, Centrale Supelec, Examinateur
M. Stéphane MENOZZI, Professeur des universités, Université d'Évry Val d'Essonne, Examinateur
M. Francesco RUSSO, Professeur des universités, ENSTA ParisTech, Examinateur
Mme Laure COUTIN, Professeur des universités, Université Paul Sabatier, Examinatrice
M. Fabien PANLOUP, Professeur, Université d’Angers, Rapporteur
