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Dans cette thèse, nous étudions trois problèmes de Calcul des Variations. Bien que leurs thématiques semblent distantes (les problèmes variationnels géométriques, les flots de gradient Wasserstein et la théorie des jeux) ils sont étudiés dans le cadre de l'optimisation dans les espaces de mesures. Le premier consiste à approcher une image donnée avec un ensemble 1-dimensionnel. Pour cela, nous interprétons les images comme des mesures de probabilité et l'on cherche à minimiser la distance de Wasserstein entre la mesure initiale et toutes les mesures uniformément distribuées parmi les ensembles 1-dimensionnels et connexes. Nous démontrons l'existence de solutions pour ce problème, quelques propriétés qualitatives des minimiseurs et nous proposons un résultat d'approximation, en forme de $Gamma$-convergence, qui permet son optimisation numérique. Ensuite nous regardons le flot de gradient de la fonctionnelle de variation totale dans l'espace de Wasserstein. En faisant un lien entre ceci et un problème classique nous utilisons la théorie bien connue de ce dernier pour en déduire les équations d'Euler-Lagrange et obtenir des résultats de régularité. Cette connexion nous permet aussi de proposer un algorithme proximal pour son optimisation numérique. Dans le troisième problème étudié dans cette thèse, on s’intéresse à la question ''Quand est-ce que les équilibres de Nash d'un jeu à $N$-joueurs convergent vers une notion d'équilibre d'un jeu avec une infinité de joueurs?'', une question centrale dans la théorie des jeux à champ moyen. Pour une classe assez générale de jeux qui possèdent une fonction de potentiel dans l'espace des mesures de probabilité, dont les minimiseurs sont des équilibres, nous démontrons cette convergence en définissant une famille appropriée des jeux à $N$-joueurs et démontrant que leurs fonctions de potentiel $Gamma$-convergent vers la fonction de potentiel du jeu avec une infinité de joueurs.
M. Antonin CHAMBOLLE, Directeur de recherche, Université Paris Dauphine – PSL, Directeur de thèse
M. Vincent DUVAL, Directeur de recherche, INRIA, Co-directeur de thèse
M. Filippo SANTAMBROGIO, Professeur des universités, Université Claude Bernard - Lyon 1, Examinateur
M. Frédéric DE GOURNAY, Maître de conférences, Université Paul Sabatier, Examinateur
Mme Yana TEPLITSKAYA, ATER, Université Paris-Saclay, Examinatrice
M. Antoine LEMENANT, Professeur des universités, Université de Lorraine, Rapporteur
Mme Annalisa MASSACCESI, Associate professor, Università di Padova, Rapporteur
