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Titre : Quelques problèmes de mécanique statistique pour les gaz de Coulomb et de Riesz
Résumé : Cette thèse se propose d'étudier divers problèmes de mécanique statistique pour une famille de systèmes de particules en interaction, appelés gaz de Coulomb et de Riesz. Nous commençons par examiner le temps de mélange du mouvement Brownien de Dyson avec confinement quadratique, dont la mesure invariante est donnée par le beta-ensemble d'Hermite. Nous établissons un résultat de cutoff pour le temps de mélange du système dans une variété de distances et de divergences, lorsque le nombre de particules tend vers l'infini. Nous considérons ensuite les fluctuations et corrélations du gaz de Riesz circulaire dans le régime longue portée. Tout d'abord, nous quantifions les fluctuations des espacements entre particules et énonçons un théorème central limite pour les statistiques linéaires valables pour des fonctions-tests possiblement très singulières. Puis nous montrons une estimée optimale sur la décroissance de la corrélation des gaps, qui nous permet de montrer l'unicité du processus limite en volume infini. La suite de ce manuscrit est consacrée à l'étude du gaz de Coulomb bi-dimensionnel à deux composantes dans un régime de basse température où la fonction de partition diverge. Après avoir proposé une renormalisation efficace du modèle, nous donnons un développement asymptotique de la fonction de partition lorsque le paramètre de troncature tend vers zéro, des estimées sur le nombre et la taille de dipôles neutres ainsi qu'un contrôle énergétique sur les fluctuations.
