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Titre : Le phénomène de cutoff pour quelques systèmes de particules en intéraction
Résumé :
Sur un espace d'états fini, une chaîne de Markov irréductible à temps continu converge vers sa mesure stationnaire unique, ou en d'autres termes, se mélange. La convergence est mesurée par rapport à la distance en variation totale. Dans la théorie moderne des chaînes de Markov, nous nous intéressons aux chaînes où l'espace d'états devient grand. En étudiant certains modèles de mélange de cartes, Aldous, Diaconis et Shashahani ont découvert le phénomène remarquable maintenant connu sous le nom de cutoff: lorsque l'espace d'états devient grand, la distance entre la chaîne et l'équilibre reste proche de sa valeur maximale pendant une longue période, puis chute soudainement vers zéro sur une échelle de temps beaucoup plus courte. Depuis, le phénomène de cutoff a été observé dans de nombreux contextes différents, tels que les chaînes de naissance et de mort, les systèmes de spin à haute température, les systèmes de particules en interaction, etc. Malgré l'accumulation de modèles, il n'existe pas encore de théorie générale permettant de prédire efficacement cutoff. Au lieu de cela, le cutoff est montré modèle par modèle. Dans cette thèse, nous étudions trois systèmes de particules en interaction: le processus d'exclusion unidimensionnel avec réservoirs, le processus de Glauber-Exclusion dans le régime à haut température, et le processus de Zero-Range à champ-moyen avec potentiel croissant sous-linéairement. Pour chaque modèle, nous établissons cutoff et fournissons une estimation fine pour le trou spectral. Nous nous concentrons particulièrement sur le cadre de la percolation de l'information introduit par Lubetzky et Sly, qui nous permet de montrer le cutoff même sans connaître la formule explicite de la mesure invariante.
