Soutenance de thèse (Camilla BRIZZI, vendredi 14 avril)

Mme Camilla BRIZZI soutiendra sa thèse vendredi 14 avril à 14h à Viale Morgagni 67/a, 50134, Florence, Italieen salle Aula Tricerri. Sa thèse, intitulée "Problèmes variationnels et de transport optimal L∞", a été réalisée sous la direction de Monsieur Guillaume CARLIER et Luigi DE PASCALE en cotutelle avec l'Université de Florence (ITALIE).

 

Titre : Problèmes variationnels et de transport optimal L∞

Résumé : 

Dans cette thèse on étudie certaines propriétés des solutions de problèmes variationnels et de transport L∞ (L infini). Ce manuscrit est divisé en deux parties. La première partie, composée du Chapitre 2 et du Chapitre 3, traite d’un problème variationnel suprémal. Les problèmes variationnels suprémaux sont apparus pour la première fois à la fin des années 60 dans les travaux pionniers d’Aronsson. En raison de la nature de la norme L∞, les minimiseurs intéressants sont les minimiseurs dits absolus (AM), qui sont souvent solutions d’une EDP associée et ont des propriétés d’unicité et de régularité. À la lumière de ces considérations, dans le Chapitre 2 nous analysons le problème associé à une fonctionnelle H(x,p) continue et quasiconvexe. Nous montrons notamment une nouvelle propriété d’optimalité pour une fonction u qui est AM et prouvons un résultat de structure pour l’ensemble des points x où H(x;Du(x)) = maxH(x;Du(x)). Dans le Chapitre 3, nous resituons le problème variationel dans le cadre des problèmes avec contraintes sur le gradient, en prouvant la régularité C1 des minimiseurs absolus sur l’ensemble mentionné ci-dessus. Dans la deuxième partie, qui comprend le Chapitre 4 et le Chapitre 5, on s’intéresse au problème de transport optimal L∞, étudié pour la première fois par Champion, De Pascale, et Juutinen en 2007. Une contribution originale, présentée dans le Chapitre 4, est la preuve que les plans optimaux dits restreignables (restrictable) (l’analogue de AM) sont concentrés sur un graphe, si la fonction de coût est strictement quasiconvexe et satisfait une propriété similaire à la condition classique de twist. De plus, nous prouvons l’unicité dans le cas d’une mesure cible discrète. Le problème de transport optimal L∞ est non convexe, donc vraisemblablement plus complexe que le problème de transport classique. Afin d’avoir une meilleure compréhension, il semble naturel de chercher une généralisation à ce cadre de l’approximation entropique. Dans ce but, dans le Chapitre 5, nous introduisons une régularisation qui garantit la Gamma-convergence vers le problème de transport L1. En particulier, nous montrons que les minimisateurs des fonctionnelles régularisées sélectionnent des plans optimaux restrictable. Enfin, nous prouvons quelques estimations sur la vitesse de convergence et présentons quelques illustrations numériques réalisées avec l’algorithme de Sinkhorn. Les résultats du Chapitre 2 sont basés sur une collaboration avec L. De Pascale et ceux du Chapitre 3 font référence à la pré-publication. Le Chapitre 4 concerne un travail commun avec L. De Pascale et A. Kausamo, tandis que le Chapitre 5 est inspiré d’un travail en préparation avec G. Carlier et L. De Pascale.