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Titre : Résultats et développements autour des mesures aléatoires ayant une covariance mesure
Résumé: Les mesures aléatoires de second-ordre, c'est-à-dire, des fonctions sigma-additives définies sur une tribu (ou delta-anneau) d'un espace mesurable à valeurs dans un espace de variables aléatoires de variance finie, ont leur structure de covariance déterminée par une bi-mesure. En faisant la supposition que cette bi-mesure est identifiée à une mesure sur l'espace de double-dimension, on obtient une régularité supplémentaire qui permet d'obtenir une grande variété de résultats mathématiques, tout en gardant une généralité suffisante pour englober une bonne partie des mesures aléatoires couramment utilisées en théorie et en pratique (mesures aléatoires orthogonales, processus de Cox, etc.). Nous présentons trois résultats sur ces mesures aléatoires qui ont de l'intérêt en Probabilités et Statistiques. Le premier est l'existence d'une décomposition de Karhunen-Loève pour les mesures aléatoires finies: toute mesure aléatoire de ce type peut se décomposer en une série de mesures finies déterministes (orthogonales dans un certain sens) pondérées par des variables aléatoires non-corrélées à variances sommables, la convergence de la série étant au sens moyenne-quadratique-faible-* sur l'espace des fonctions mesurables bornées. Le deuxième est l'analyse d'une classe d'EDPS d'évolution de premier ordre linéaires sur l'espace-temps Euclidien, où le terme source est tel que sa transformée de Fourier spatiale est une mesure aléatoire. Cette condition permet la résolution explicite et l'analyse asymptotique des équations. Nous montrons un exemple assez remarquable d'une EDPS de cette forme obtenue de la manière suivante: pour un système de particules ayant des trajectoires iid sur l'espace Euclidien, étant chaque trajectoire Gaussienne, centrée, stationnaire, et ayant des covariances non différentiables définies par des paramètres de variance et portée (ex: covariance exponentielle), le système converge en loi, lorsqu'on fait grandir le nombre de particules, vers un champ aléatoire stationnaire qui spatialement est un processus de Poisson homogène et spatio-temporellement suit une covariance similaire aux modèles de Gneiting, correspondante à une solution stationnaire d'une équation de la chaleur stochastique ayant comme terme source le démi-Laplacien d'un Bruit Blanc. Finalement, le troisième résultat considère des questions sur la possibilité de définir uniquement l'intégrale stochastique d'un processus stochastique continue en moyenne-quadratique par rapport à une mesure aléatoire sur l'espace Euclidien. Pour cela, un nouveau concept est introduit: la auto-intégrale du noyau de covariance croisée, qui est définie comme "l'intégrale du noyau par rapport à soi-même". On démontre que l'existence de cette auto-intégrale est nécessaire pour l'existence de l'intégrale stochastique, et de plus, dans le cas où le processus et la mesure aléatoire sont Gaussiens, des conditions d'auto-intégrabilité sur le noyau de covariance-croisée sont nécessaires et suffisantes pour la définition unique de cette intégrale. Ceci se présente comme un petit pas vers le développement d'un calcul stochastique non-linéaire basé sur des structures de covariance.
